MATEMÁTICA

MATEMÁTICA
Septiembre 14, 2019 No Comments EDUCACIÓN, PUBLICACIONES, TEMAS admin
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¿QUE ES APRENDER MATEMATICA?
Aprender matemática desde este punto de vista es crear nuevas “herramientas” a partir de las existentes.

Desde el punto de vista concreta o realista, también consideramos la “Caja de Herramientas”.
El sujeto tiene una realidad concreta que lo rodea y lo acosa constantemente.
En esta realidad concreta existen objetos y situacioes que en un cierto momento atraen su atención de manera especial. Entonces, mediante un proceso de abstracción, crea un modelo mental de esa porción de su realidad y busca alguna herramienta o conjunto de herramienta que traduzcan, en la forma más aproximada posible, el modelo mental que posee.
Así se dirá que ha credo un modelo matemático de una parte de la realidad concreta.

Es con el modelo matemático con el que se ha trabajar a hora.
Este modelo matemático se puede considerr como parte de la realidad matemática con la que se desarrollar el proceso de aprendizaje desde el punto de vista abstracta.
Transformda la realidd matemática, ya sea mejorada o incrementada, se regresa a la realidad concreta, tratando de adaptar un nuevo modelo matemático a las condicones existentes en esa realidad.

El proceso de elaboración y organización del modelo matemático a partir de una porción de la realidad concreta se denomina matematización de la realidad y el proceso de transferir del modelo matemático a la realidad se denomina concretización del modelo.
En otras palabras, el punto de vista concreto amplía el punto de vista abstracto, del concepto de aprendizaje de la matemática, pues no se queda en la caja de herramients sino que la pone en relación y al servicio de la realidad concreta del sujeto.

Esto es lo que se llama el verdadero aprendizaje del matemática, no así como se pensaba que, aprender matemática era captar la mayor cantidad de fórmulas, tener bastante capacidad para efectuar cálculos; pero sin ningún criterio, sin secuencia lógica.

“Un niño puede familiarizarse con todos los aspectos técnicos de las ecuaciones lineales son tener idea clara de la que fundamentalmente es una ecuación lineal. En otras palabrs: Un niño puede tener la impresión de que comprende las matemáticas y sin, embargo, no comprenderlas.

Este niño no se dará cuenta, en absoluto, de las interconexiones de los distintos procsos que conoce. También es fácil que un maestro tenga la impresión de que un alumno ha comprendido algo, cuando en realidd no lo ha hecho; todos los niños aprenden con rapidez las “respuestas tipos” a las cuestiones tipo dando la impresión de haber asimilar los conceptos.

Pues es evidente que aprender matematica significa utilizar los conceptos u objetos matemáticos, para formar conceptos u objetos matemáticos, con los cuales dar soluciones a nuevas cuestiones que se nos presente en nuestra realidad.

¿QUE ES ENSEÑAR MATEMATICA?
Se puede decir entonces que la motivación, o la fuente de aprendizaje es la misma matemática. Es lo que se llama enseñar matemática por la matemática.
Entonces es fácil comprender la actitud de un maestro que “presenta” la matemática a sus alumnos, para que estos aprendan y memoricen los conocimientos; reproduciendo supuestas demostraciones de anunciados que, de antemano, han sido declarados como verdaderos. Pues el maestro ha exagerado la idea de aprender matemática desde el punto de vista abstracto, y considera que lo se debe hacer es proporcionar al alumno la mayor cantidad de posibles herramientas éste enriquezca su realidad matemática, aun cuando él mismo no los haya construido, es decir cuando el alumno no haya entendido nada de esas herramientas ni sepa para que sirven, incluso de la misma matemática.

Aquél profesor que tiene un concepto más claro de lo que es aprender matemática, siempre desde el punto de vista abstracto, procurará que sus alumnos construyan sus herramientas para utilizarlas en conocimientos y conceptos más avanzados de la matemática. Entonces, con la mejor voluntad y honestidad posible, estará entrenando al alumno para realizar hermosas deducciones y para ejecutar complicados cálculos que, a la postre, harán del sujeto un soñador que siempre estará pensando y razonando en lo abstracto sin preocuparse de la realidad concreta que lo rodea, porque nunca se le presentó la oportunidad de utilizar esos conocimientos en verdaderos problemas de la realidad. Y cuando se le presentan problemas de aplicación, éstos serán tan artificiales y tan desposeidos de toda complicación que no le permitirá enfrentarse a una situación problemática real.

Desde el otro ángulo de la enseñanza de la matemática; es decir desde el punto de vista concreto o realista de lo que es aprender matemática.
Aquí se trata, fundamentalmente de aprender a transformar, dominar e interpretar la realidad concreta con la ayuda de la matemática.
Entonces, la matemática no debe ser aplicada a la realidad, sino más bien, la matemática debe; en sentido más generoso, surgir de la realidad. En este sentido es necesario que se eduque al niño, desde muy temprana edad, en la observación de su realidad, pero en un observación crítica, que conduzca con la mayor frecuencia posible, a la elaboración de modelos matemáticos, en principio sencillos y tal vez vagos e imprecisos; pero que llevan al adecuado a familiarizarse con esta actividad hasta exigir, por propia decisión y crítica, a precisar mejorar los modelos, en la medida en que su capacidad de abstracción y matematización se lo permitan.

Es muy probable que no todos los conceptos de la matemática escolar pueden ser extraídos de situaciones reales; pero se puede buscar, en lo posible, situaciones que empleen varios conceptos; de manera que su tratamiento y desarrollo permitan durante cierto tiempo, el estudio de diversos conceptos. “Los factores que intervienen en la enseñanza de las matemáticas y en la síntesis que la acción pedagógica impone. Los factores que son de tres clases: Las personas y los mecanismos mentles que intervienen en el pensamiento matemático y el acto de aprender; las estructuras matemáticas y su propio dinamismo; las relaciones de estas estructuras con las de la realidad, en particular en el campo de las aplicaciones.
Con respecto al profesor de matemática, los primeros factores exigen que se un psicólogo; los segundos, que conozca, desde el punto de vista de la transmisión, que es la que distingue a las matemáticas de las demás actividades intelectuales que es lo que hace que las actividades que llamamos matemáticas sean tan diversas y hagan referencia a modo de pensamiento tantas diferencias.

En síntesis, una moderna enseñanza de la matemática no es más que la creación de las condiciones apropiadas para que el educando realice el proceso de matematización y concretización. Pero este proceso muestra sólo un ciclo de matematización y concretización en el aprendizaje de la matemática, y no debe pensarse que finalizado ese ciclo acabó el aprendizaje, todo lo contrario. La nueva parte de la realidad concreta, transformada por matematización y concretización, que deberá continuar por el mismo proceso, en forma indefinida, mientras el educando lo permita.

Los tres principios para enseñar son :

A.EL APRENDIZAJE ACTIVO :
Lo que el profesor dice durante la clase no es sin importancia. Las ideas deben nacer en los espíritus de los educandos. El tiempo es un gran enemigo de este principio.

B.LA MEJOR MOTIVACION :
El profesor deberá considerarse como un comerciante; él decide vender matemática a sus alumnos. Así que si encuentra dificultades o si los clientes se rehusan al comprar, no deberá atribuirles a ellos toda la responsabilidad, recordemos que en principio el cliente siempre tiene la razón y en la práctica también a veces.

C.LAS FASES CONSECUTIVAS :
Los textos escolares presentan el inconveniente de no ofrecer, casi exclusivamente, más que ejemplos de problemas puramente rutinarios, y en ese tipo de problemas tiene en realidad muy poca amplitud; ilustra o pone en práctica una sola regla, aislada de contexto general. Si el problema que se desea tratar ha sido bien cogido o escogido, entonces debe incitarse a los alumnos a realizar exploraciones preliminares; esto puede agudizar su deseo de buscar la solución formal.

2.2.3.MATEMATICA DE LA REALIDAD PARA LA REALIDAD :
Afirmar que el verdadero y fundamental objetivo de la enseñanza de la matemática es la vida diaria, la realidad del alumno. Claro está que para llegar a esa realidad un buen camino debe pasar por el manejo de modelos matemáticos en sí, pero no detenerse en él sino más bien utilizarlos para resolver situaciones que pudieran presentarse. Se trata entonces de poner al educando en relación con su realidad mediante situaciones reales concretas, para llevarlos luego al terreno matemático, resolverlos y finalmente retornar a la realidad para utilizar esos resultados, en beneficio de una transformación de esa realidad.

Este proceso, que parece muy simple, en la práctica no es tan sencillo de ejecutarlo ya que en principio, es necesario detectar los problemas que rodean al educando, determinarlos perfectamente y luego conseguir que sean los propios alumnos quienes intenten la solución de tales situaciones. La última etapa es probablemente la más difícil de cumplir, pues para que el alumno resuelva un problema por sí sólo es necesario y fundamental que sea de un interés, ya que sin interés será muy difícil, sino imposible, que el problema sea abordado y por lo tanto que sea resultado.

Creemos que el objetivo esencial de la educación en todos los niveles consiste en contribuir a formar hombres de nuestra época y si es posible, del futuro inmediato; hombres que no se sientan extraños a su propio mundo, que no se vean superados y aniquilados por una evolución cultural y social que escape totalmente a su entendimiento.

Teniendo en cuenta principalmente la educación secundaria; ante todo la enseñanza de la matemática se debe enseñar a pensar. Enseñar a pensar significa que el profesor no se deberá contentar con proporcionar el conocimiento sino que él deberá tratar, igualmente, desarrollar en sus estudiantes la capacidad de utilizar ese conocimiento; el deberá insistir sobre el saber – hacer, sobre las actitudes útiles, sobre los hábitos intelectuales deseable. Mucho se puede decir al respecto, por ahora es suficiente insistir sobre dos puntos :

El primer lugar, uno de los principales objetivos del programa matemático en la escuela secundaria es desarrollar, en los alumnos su capacidad de resolver problemas. De otro lado, el pensamiento matemático no puede ser puramente formal, no se ocupa solamente de axiomas, de definiciones y de estrictas pruebas, sino también de muchas otras cosas; generalizaciones a partir de observaciones, argumentos inductivos, argumentos analógicos, discernimientos y extracción de un concepto matemático a partir de una situación concreta. Enseñemos por todos los medios a hacer demostraciones rigurosas, pero enseñemos también a conjeturar.

METODO DE SITUACIONES :
Cuando Dienes presenta su esquema de aprendizaje en seis etapas se puede observar que la idea central es que el concepto debe obtenerlo el alumno a partir de su experiencia, con objetos que manipula directamente, para luego abstraerlo, y utilizarlo. La idea es muy interesante por cuanto de ese modo evita un método con actitud dogmática, mediante el cual el alumno aprende de la que el maestro le enseñe, sin tener la menor idea de lo que aprende.

¿EN QUE CONSISTE EL MÉTODO DE SITUACIONES?
Este es un método que se llama por cuanto hace uso de lo que se denominaría situaciones problemática.
Se entiende por ello, que se propone al alumno explorar una situación concreta o absoluta, que por su presentación viene a ser un desafío a su poder de discernimiento o de invención. Durante esta exploración, las ideas se van clasificando, algunos factores aparecen como importantes o imprescindibles, mientras que otros se van dejando de lado. Algunos esquemas adaptables a uno o varios problemas, van tomando forma. La solución conduce a establecer ciertas propiedades o a aceptar otras hipótesis de trabajo. Gradualmente se va construyendo un sistema de relaciones, que luego necesitará ser verificado por alguno de los métodos disponibles: modelos inductivos, deducciones lógicas contra ejemplos, etc.

Pero como toda situación problemática es un problema, con mucha facilidad puede confundirse el método de situaciones con el método de problemas. Claro, siempre que se haga uso de aquél se estará haciendo uso de éste; pero lo recíproco es falso. Y éste simplemente, porque no todo problema es un situación problemática.

También puede confundirse con un método en el cual se pone al alumno frente a situaciones, estímulos que la deberán hacer reaccionar originando una respuesta; esto es con la enseñanza programada.

La diferencia que pueden encontrarse entre ambos método son mucho más grandes que las del caso anterior. En principio, la enseñanza programada introduce los temas empezando por bien preparadas definiciones o ejemplos, siguiente con algunos ejercicios o problemas de aplicación, para terminar el aprendizaje memorizando algunas reglas o propiedades. Como se ve este en un esquema que subordina completamente al alumno y condiciona su actitud, por cuanto éste hace lo que el programador quiere que haga, además la organización de las cuestiones está en función de las respuestas.

Es claro que este esquema difiere totalmente con el método de situaciones, donde los estímulos están organizados en funciones de las acciones del alumno, acciones mediante el cual no va sólo en pos del resultado de un problema, ni en pos de la aprehensión memorística de nuevos conocimientos, sino más bien en forma más general, va haciendo el enfrentamiento y reflexión de otros aspectos, como se ha señalado el principio, aspectos encerrados en la situación y que en la mayoría de los casos no son ni mucho menos previstos.

La complejidad del métodos de situaciones se visualizará mejor en la media que se haya definido, determinado más lo que es una situación problemática, puesto que ésta es prácticamente, su herramienta de trabajo.

¿CUANDO UNA SITUACIÓN ES PEDAGOGICAMENTE BUENA?
No todo problema es una situación problemática, para que lo sea es necesario que reuna ciertas características que hace que deje de ser simple del problema.
Entre estas características se puede señalar :

1.Una situación está de acuerdo con los intereses de los educandos. No es algo impuesto que cae aún cuando hay oposición a su presencia.

2.Una situación es abierta. Es decir dentro de una situación no hay un problema, ni mucho menos se trata de hablar la solución del problema. Por el contrario, una situación abre la posibilidad de estudiar una multiplicidad de problemas que se hallan tácitos y se explicitan en la medida que se reflexiona la cuestión según el nivel e intereses de los educandos.

3.La situación se presenta dando una visión global y no lineal de lo que se ha de tratar. Es decir que de golpe aparecen todos los elementos que describen la situación, bajo diferentes niveles de importancia y explicitación, quedando a criterio del alumno la organización y priorización del tratamiento de los mismos.

4.El lenguaje usual y familiar es algo que toda situación, práctica, de lo contrario la cantidad de convenciones necesarias para utilizar el lenguaje ocasionaría problemas que los que hay que enfrentar dentro de la situación misma.

Por otro lado, se dice que se está frente a una buena situación cuando :
a.Pone preguntas, tanto a maestros como a alumnos. Preguntas que por lo general, no están previstas en el desarrollo de su aplicación y que surgen sobre la marcha.

b.Permite y facilita la autoproliferación; vale decir que origina nuevas situaciones.

c.Abre la puerta a una verdadera investigación del tema en estudio, tanto al maestro como a los alumnos.

d.Conserva la traza del razonamiento, permitiendo la realización de nuevas y cada vez más profundas reflexiones, sin la posibilidad de perderse en el camino de lo ya razonado.

e.Matemáticamente pone en evidencia los isomorfismo entre las estructuras que considera, sin necesidad de explicar este hecho, lo que origina una parte percepción vaga que puede germinar luego dando lugar al descubrimiento de esas reacciones.

f.Simplifica por generalización. Claro, el hecho de que se presenten de manera global y abierta sumando a la clarificación de los isomorfismos, ocasiona una fácil generalización de las estructuras matemáticas en las que se enmarcan los objetos matemáticos que intervienen en la situación; lo que trae como consecuencia una economía en el pensamiento y una simplificación del razonamiento.

METODO HEURISTICO :
Este es un método más conocido en la enseñanza de la matemática que viene desde la antigua Grecia.
El método heurístico es valioso para el proceso de resolución de problemas; por ello es muy necesario conocer algunas herramientas heurísticas.

Aquí presentamos algunas herramientas destinadas a utilizarlas como soportes en las actividades de solución de problemas Partimos de la hipótesis de que cada individuo puede mejorar su capacidad de resolver problemas por una práctica de problemas, coordinados con una reflexión sobre las estrategias utilizadas para el caso.

Es combinado la utilización de estas diferentes herramientas que se llegará a solucionar problemas. Claro que ninguna de estas herramientas es infalible y su utilidad no crecerá más que con el uso.

1.ANALISIS DEL ENUNCIADO :
Las preguntas siguientes pueden sin duda ayudar a resolver un problema: ¿cuál es la incógnita de este problema?; ¿Cuál es el dominio de esta incógnita?. Es que el objeto de un problema es encontrar un cierto ente la incógnita del problema, satisfaga las condiciones del problema. Un problema claramente enunciado debe especificar la categoría a la cual pertenece la incógnita; es necesario conocer desde la partida de naturaleza de la incógnita que se espera encontrar : Un triángulo, un número, una palabra, etc. Un problema claramente enunciado debe también especificar las condiciones que debe satisfacer la incógnita. Muchas veces la al incógnita debe estar descompuesta en varios componentes. Esta descomposición permite atacar primero un problema más simple que proporciona una parte de la solución para enseguida progresar en la conquista de la incógnita.

2.PRESENTACIONES EXTERNAS Y MODELOS DE UN PROBLEMA :
Casi todo el mundo comienza a resolver problemas trazando una figura que le permita comprender mejor el enunciado del problema. El gráfico es una especie de memoria externa del individuo, es decir el conjunto de símbolos, figuras, objetos, etc, que él creando en la medida que aumente su comprensión del mismo.

En este análisis inicial del problema es muy importantes darse buenas representaciones y sean simbólicas, gráficas o concretas. Además las representaciones se les debe reorganizar en función del avance hacia la solución.
Se trata en realidad de descargar nuestra memoria interna y de crear sobre el papel o en otro lado representaciones que sintetizan nuestra comprensión en un momento dado y sobre las cuales se ha de trabajar para progresar.

En realidad el hecho de representar el problema nos proporciona ya un modelo de plan de ataque del mismo, de manera que cuando se cambie la representación debido a un agotamiento del anterior o a una falta de riqueza prácticamente se está buscando un nuevo plan de ataque al problema.

Un buen proceso heurístico sobre la representación consiste en preguntarse sistemáticamente si los modelos estandar que conocemos son suficientes para elaborar una parte del modelo general del problema. Pues el hombre común y corriente en la mayoría de los casos está limitado solamente a modelos de aritmética y de geometría para resolver sus problemas cotidianos. Y es aquí donde la matemática moderna encuentra su utilidad de la resolución de problemas agregando sus modelos y símbolos a los de nuestro repertorio.

3.APREHENSION GLOBAL DE UNA FORMA :
Este principio se basa en la tendencia que trata de explicar algunos fenómenos psicológicos.
La principal idea es que un análisis de las partes, incluso exaustivo, no garantiza la comprensión del todo. Para conocer la naturaleza de una totalidad, es necesario proceder mediante un análisis de arriba hacia abajo a partir de la estructura del todo hasta las caracteristicas de sus partes. El todo puede tener atributos o son deducibles por el análisis de las partes aisladas.
De modo que, en muchos casos, es necesario que es haga consciencia, en primer lugar, de la estructura de todo el problema para luego comenzar a trabajar hacia la estructura de sus partes. Ese análisis del todo se realiza, generalmente, agregando elementos a la estructura para simplificar el problema.

Aqui se impone la necesidad de leer el problema con detenimiento tratando de comprender el todo para luego desagregarlo.

4.RAZONAMIENTO PROGRESIVO Y RAZONAMIENTO REGRESIVO :
El razonamiento progresivo está caracterizado por el hecho que partimos de los datos proporcionados por el problema y avanzamos hacia el resultado deseado. Vamos de los datos a la incógnita. Si es verdad que esta aproximación por avance puede conducirnos a una solución satisfactoria, no impide que nos quedemos con la impresión de que fue en parte debido al hallar ¿que hacer sí no se logra la primera idea para resolver el problema?.

Es posible adoptar una actitud totalmente diferente; a partir del resultado para abrir lo deseado antes que los datos, suponer que el problema está ya resuelto, de alguna manera, y utilizar este resultado para abrir un camino hacia los datos. Esto no es más que un razonamiento regresivo. Es una marcha en retroceso. La meta buscada es considerada como punto de partida del proceso de resolución. Nuestro espíritu funciona a la inversa del orden real y claro que cuando ejecutamos a partir de la última situación encontrada.

Los dos métodos requieren una combinación de actividades variadas, y muchas veces se complementen para solucionar un problema.

5.EVALUACION DE LA DISTANCIA A LA META :
Es muy importante que cada vez que se ha logrado algo en la solución de un problema, se piensa reflexiblemente si esto lo acerca o lo aleja a uno de la meta prevista. De otra manera se estaría trabajando en forma ciega,con lo que será cada vez más difícil de solucionar el problema.

Se puede utilizar el razonamiento regresivo con la finalidad de aproximar la expresión de partida o para descomponer el problema en problemas preliminares, que a la postre nos conducirían a metas intermedias para simplificar el trabajo.

6.PARTICULARIZACION Y GENERALIZACION :
Frente a un problema muchas veces, la primera cosa que se debe hacer es particularizar; es decir proporcionar casos particulares, ejemplos, que nos podrán poner sobre la pista de la solución. Una vez visualizada la solución se puede realizar una generalización parcial para un grupo de valores, para finalmente lograr la generalización total.
Es esquema a seguir para desarrollar todo este proceso, aproximadamente es el siguiente:
Particularizar para comprender el enunciado: al principio de un problema cuando sea posible, es a veces bueno proporcionar varios casos particulares. Esto permite analizar y comprender mejor el enunciado del problema.
Particularizar para generalizar : enseguida tratamos de comprender esos casos particulares para descubrir allí una cierta regularidad.
Particularizar para probar una hipótesis: en otro momentos se puede particularizar para probar una hipótesis.
Generalizar resultados de varios casos particulares: aquí se trata de lograr una generalización parcial, a partir de algunos caso particulares.

Generalizar el método de resolución de un caso particular: este es un segundo tipo de generalización. La que se generalizar es un método y no un resultado. Analizando este método en correspondencia con los resultados particulares anteriores, se logran casi siempre, resultados para otros casos particulares; y finalmente, un resultado para el caso totalmente general.

7.PROBLEMAS ANÁLOGOS :
Diremos que dos sistemas son análogos si encontramos las mismas relaciones, bien definidas, entre sus respectivos elementos.
Cuando se resuelve un problema por analogía, la multiplicidad de posibles analogía exige a una escogencia. Ahora bien precisa o vaga una analogía bien escogida puede jugar un rol muy importante en el descubrimiento de la solución de un problema. Claro que la solución de un problema análogo no siempre se puede utilizar inmediatamente para resolver el problema, primitivo, es conveniente entonces reconsiderar esa solución del problema original.

8.PROBLEMAS AUXILIARES :
Un problema auxiliar es un problema al cual prestamos nuestra atención y tratamos de resolverlo no a causa del interés propio que él presenta sino porque esperamos que este trabajo pueda ayudarnos a resolver otros problemas, el problema inicial.

Los problemas auxiliares pueden lograrse de diferentes maneras reformulando el enunciado; modificando las condiciones; modificando la incógnita y los datos.

ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN Y GENERALIZACIÓN DE PROBLEMAS :
Una vez lograda la solución siempre es bueno hacer un análisis del mismo con la finalidad de tratar de encontrar tal vez otro camino más fácil o más útil para lograrlo. Igualmente el análisis de la solución puede conducir a solucionar otros problemas semejantes. Esto nos lleva a pensar que es posible una generalización de la solución, otros problemas que posean las mismas características.

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