Fundamentación.

La Matemática dirigida a los estudiantes presenta dos facetas claramente diferenciadas. En primer lugar, está la “enseñanza de la Matemática”, que muestra cómo es que debe presentarse los conocimientos al estudiante, es decir, la serie de procedimientos pedagógicos que facilitan la asimilación de la teoría matemática. Y, en segundo lugar, tenemos el “aprendizaje de la Matemática”, el cual se centra en la pregunta “¿cómo se aprende?”, interesándose en los mecanismos de asimilación y construcción del conocimiento matemático en la mente de los estudiantes. Precisamente, esta es la faceta en la que ahora nos vamos a centrar.

Al respecto, la Guía de Aprendizaje de la Matemática y el Desarrollo de Capacidades (Fascículo 2, MINEDU 2007, págs. 6-7) presenta algunas consideraciones para el aprendizaje:

El conocimiento matemático no se da de modo inmediato en los estudiantes. Esto quiere decir que es todo un proceso cuyo avance es progresivo, por etapas, y según las particularidades de cada estudiante. Además, se trata de un proceso que nunca concluye, pues la asimilación de contenidos se prolonga más allá del tiempo que el estudiante pase en las aulas. Para ello, se debe tener en cuenta que la Matemática funciona de acuerdo con el principio cognitivo según el cual todo conocimiento nuevo debe de ser conectado con los conocimientos ya adquiridos.

El aspecto manipulativo debe de ocupar un lugar destacado en el trabajo de aprendizaje. De esta manera, el estudiante desarrolla su capacidad de abstracción, pues el aprendizaje que parte de lo concreto y lo perceptible se asimila con mayor facilidad en los esquemas mentales de los estudiantes.

Se debe de alentar el trabajo cooperativo y las acciones solidarias, pues de esta manera se promueve también el debate, la discusión y el intercambio de conocimientos. Sin duda, los estudiantes fortalecen su capacidad argumentativa.

El intercambio de ideas y conocimientos no deben limitarse a la institución educativa, sino deben de extenderse al entorno familiar y social. Así, los estudiantes deben estar en condiciones de participar en diálogos, tanto con sus padres, como con sus maestros, vecinos, parientes, etc.

Debe tenerse en cuenta que los estudiantes no son entes pasivos que simplemente “esperan” que los conocimientos entren a su conciencia. Por el contrario, deben de ser vistos como individuos con grandes potencialidades, las cuales, a su vez, se tienen que desarrollar basándose en su interés por aumentar el caudal de sus conocimientos. (MINEDU, 2007, p. 6-7).

En relación con lo anterior, está también el fomento de la creatividad en los estudiantes, de modo que las actividades mecánicas, repetitivas y rutinarias deben de ser dejadas de lado, y se debe incentivar a que formulen conjeturas y recorran caminos inexplorados, al final de los cuales, puede aparecer un conocimiento valioso e inédito.

La Matemática tiene su origen en la necesidad de resolver problemas y ejecutar actividades que faciliten la existencia individual y colectiva de los seres humanos. Partiendo de situaciones concretas y cotidianas se llega a abstracciones que posteriormente se ordenan, dando origen a las teorías matemáticas, la ciencia y la tecnología.

En el caso de la enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria, ésta siempre ha estado orientada hacia la finalidad práctica de proporcionar a los estudiantes las herramientas operativas básicas que les permitan enfrentarse a los retos que se les vayan presentando en su sociedad.

Capacidades matemáticas.

Según las OTP (MINEDU, 2010, p. 11), las capacidades describen los aprendizajes que los estudiantes alcanzarán en cada grado en función de las competencias por ciclos propuestas para el área. Para el logro de cada una de las competencias, es necesario el desarrollo de un conjunto de capacidades, conocimientos y actitudes que están establecidos en el interior de las competencias. Las capacidades se desarrollan a través de los procesos transversales, que son:

a. Comunicación matemática
Según la Guía de Aprendizaje de la Matemática y el Desarrollo de Capacidades:
El alumnado debe acostumbrarse a la escritura. El encuentro que tendrán con la palabra será constante (en la lectura de los planteamientos de los problemas, de los cuadros estadísticos, de las diversas gráficas, etc.). Por ello, será preciso que se familiaricen con ella. Si queremos poner por escrito nuestras ideas, primero debemos de realizar una labor de ordenamiento en nuestra mente de manera tal que éstas lleguen al papel de una forma coherente. Dicho proceso permite que los matemáticos revisen detenidamente sus ideas y demostraciones. (Fascículo 2, MINEDU 2007, p. 6-7).

Así, el desarrollo de la capacidad verbal aumentará la comprensión de los conceptos matemáticos. No olvidemos que el pensamiento abstracto también recurre a la palabra como instrumento de análisis. Por eso es importante conocer exactamente el vocabulario matemático que corresponde utilizar en cada ocasión.

En los debates e intercambios de ideas, este aspecto de la comunicación matemática cobra notoriedad, pues en ellos los estudiantes tienen innumerables oportunidades de formular preguntas, refutar argumentos y exteriorizar sus inquietudes.

En la Guía (Fascículo 2, MINEDU 2007, págs. 6-7) se afirma que “no basta con que ellos presenten las soluciones a los problemas, sino que deben de estar capacitados para mostrar a su docente y a sus compañeros y compañeras el camino que han seguido para llegar a ellas”. Y, además, es muy valioso que los estudiantes sean conscientes de los obstáculos y limitaciones con las que tropezaron en dicho camino, pues así podrán elaborar estrategias adecuadas para superarlos con facilidad en situaciones futuras.

Por ello, en el Fascículo 2, MINEDU (2007, p. 10), y de acuerdo con lo que acabamos de exponer, en el aprendizaje de la Matemática los estudiantes deben de estar capacitados para:
– Valorar la precisión y utilidad de la notación matemática, así como la importancia que tiene en el desarrollo de las ideas relacionadas con la resolución de problemas matemáticos.
– Expresar ideas matemáticas de manera oral y escrita.
– Entender claramente los enunciados verbales que aparecen en los problemas matemáticos.
– Formular definiciones matemáticas y compartir con sus compañeros y compañeras las generalizaciones que han obtenido como fruto de sus investigaciones.

b. Razonamiento y demostración

Según la Guía de Aprendizaje de la Matemática y el Desarrollo de Capacidades (Fascículo 2, MINEDU 2007, p. 9), el razonamiento juega un papel de primer orden en el entendimiento de la Matemática:

Los estudiantes deben de tener claro que ésta posee un sentido que hay que reconstruir mediante el desarrollo de ideas, la justificación de resultados y el uso de conjeturas, entre otras actividades. Teniendo en cuenta que ningún estudiante llega a la escuela sin algún conocimiento, pues no existe individuo carente de nociones básicas de Matemática, los docentes buscarán estimular el natural desarrollo hacia la resolución de problemas más complejos.
Entonces los alumnos deben estar capacitados para:
– Comprender que el razonamiento y los pasos para realizar una demostración son de gran importancia en la resolución de problemas matemáticos.
– Arriesgarse a proponer y desarrollar conjeturas, mostrando solidez en el proceso argumentativo.
– Discriminar la validez de argumentos y demostraciones matemáticas.
– Escoger, entre varias posibilidades, el método de demostración más adecuado para un problema en particular.

Se debe acostumbrar al alumnado a cuestionar los conocimientos recibidos de manera tal que adquieran seguridad al momento de conducirse en sus propias investigaciones. Debe quedar de lado la errada idea de que algo es válido solo porque una persona importante lo dijo. Por el contrario, el único criterio que debe de tenerse en cuenta al momento de respaldar una afirmación matemática es el razonamiento, es decir, el encadenamiento consistente de demostraciones.

El estudiante debe ser constantemente estimulado con preguntas y ser llevado siempre a la formulación de conjeturas que, como hemos señalado, robustecerán su capacidad de raciocinio.

c. Resolución de problemas.

Para Polya (2006) “… resolver un problema es encontrar un camino allí donde no había previamente camino alguno, es encontrar la forma de salir de una dificultad de donde otros no pueden salir, es encontrar la forma de sortear un obstáculo, conseguir un fin deseado que no es alcanzable de forma inmediata, si no es utilizando los medios adecuados…” (p. 23).

Cuando se lleva a cabo la resolución de problemas, debemos de tener en cuenta que “resolver” no significa simplemente realizar un proceso de modo mecánico para llegar a una solución. “Pues, en el camino hacia la respuesta, el estudiante participa activamente, ya sea realizando conexiones con conocimientos previamente adquiridos (lo cual puede hacer que se llegue a la solución de una manera más rápida), o arriesgando nuevas propuestas, es decir, dando entrada libre a la creatividad”. (Fascículo 2, MINEDU, 2007, p. 8).

Este aspecto de la resolución de problemas es fundamental en el aprendizaje de la Matemática, por lo cual debe buscarse problemas cuya proximidad con el entorno del estudiante lo motiven a comprometerse con su resolución. Los problemas idóneos serán aquellos que integren temas variados y matemáticas significativas.

A través de la matemática se debe capacitar a todos los estudiantes para:

– Obtener nuevos conocimientos mediante la resolución de problemas diseñados según se acaba de describir.
– Resolver problemas que surjan tanto de la Matemática como de otros contextos.
– Aplicar y adaptar las estrategias pertinentes para la resolución de problemas.
– Controlar el proceso de resolución de problemas matemáticos, propiciando la reflexión sobre el mismo.

Los estudiantes se plantean constantemente problemas, a veces de manera espontánea, en su diario acontecer, de modo que es labor de los docentes estimular en ellos la disposición a resolverlos. Por ello, deben crear en clase un clima que fácilmente los motive a investigar, asumir riesgos y proponer salidas así como a participar en un intercambio de ideas. El docente se convierte así en un apoyo que indudablemente fortalecerá la confianza del alumnado.